超声波变幅杆的模态分析

　摘要:

根据变截面杆纵向振动的波动方程,推导了悬链形超声波变幅杆的频率方程,应用有限元法对超声波变幅杆进行了模态分析,得到了共振频率、横向振动频率、位移节点和放大系数等重要参数。与理论计算值的比较表明,有限元法获得了很高的精度。

关键词:超声波变幅杆;有限元法;模态分析

引言

超声波加工技术是一种重要的特种加工方法。超声波加工装置主要由超声波发生器、超声波换能器和超声波变幅杆等组成,超声波变幅杆的作用是将超声波换能器输出的机械振动位移或速度振幅进行放大,使能量集中在较小的辐射面上,所以又称为超声聚能器,其声学振动特性对整个超声加工装置非常重要。传统的分析方法离不开繁琐的公式推导。应用有限元法对其进行模态分析,获得了若干重要参数,如共振频率、横向振动频率、位移节点和放大系数等,对超声变幅杆的设计、校核和分析提供了一种新的方法。

1         纵向振动超声波变截面杆的波动方程[1 ] 一变截面杆如图1 所示。

杆的横截面尺寸远小图1 　

变截面超声波变幅杆于波长,其对称轴为x 坐标轴,作用在小体积元( x , x + d x) 上的张应力为 5σ 5 x d x , 根据牛顿定律可以写出动力学方程: 5 (Aσ) 5 x d x = Aρ 52δ 5 t2 d x (1 ) 式中　A 杆的横截面积函数,A = A ( x ) 　δ 质点位移函数,δ=δ( x ) 　ρ 杆的材料密度　σ 应力函数,σ= E 5δ 5 x 在角频率为ω 的简谐振动情况下, 上式可写成: 52δ 5 x 2 + 1 A • 5 A 5 x • 5δ 5 x2 + K2δ= 0 (2 ) 式中　K 圆波数　K =ω/ c 　c = E/ρ 　c 纵波在细杆中的传播速度　E 材料弹性模量式(2 )为变截面杆纵向振动波动方程。下面, 依据此方程,推导半波长悬链形变幅杆的频率方程。

2 　半波长悬链形超声波变幅杆的频率方程[2 - 3 ] 　　参看图1 ,如果悬链形超声波变幅杆变幅杆的横截面为圆形,坐标原点x = 0 处的半径为R0 ,面积为A 0 ,坐标x = l 处的半径为R1 ,面积为A 1 ,则超声波变幅杆半径函数为: R = R1ch2γ(l - x) (3 ) γ= (arcch N) / l ,N = R0 / R1 方程(2 )的解可以表示为: δ= [a1cos (K′0 x ) + a2sin (K′0 x ) ]/ [chγ( l - 　　　　　x ) ] (4 ) 应变为: 5δ 5 x = γshγ(l - x ) ch2γ(l - x) [a1cos (K′0 x) + a2sin (K′0 x ) ] - a1 K′0sin (K′0 x) + a2 K′0cos (K′0 x ) chγ(l - x) (5 ) K′0 = K2 - γ2 ,a1 、a2 为待定系数。将边界条件δ| x = 0 = δ0 、δ| x = l = δ1 及 5δ 5 x | x = 0 = 5δ 5 x | x = l = 0 代入式(5 ) ,得: K′0 l tan (K′0 l) = - archch N 1 - 1 / N2 (6 ) 依据式(3 )～ (6 ) , 可以计算出半波长悬链形超声波变幅杆的谐振长度、放大系数和位移节点等参数。

 3 　模态分析[3 - 5 ]

假设某悬链形超声波变幅杆工作频率为f = 20kHz ,材料为45 号钢,大端半径R0 = 25mm ,小端直径R1 = 15mm ,长度l = 12513mm 。在MSC Pat ran2001 中建立的有限元模型如图2 所示。单元类型为Hex8 体单元,共有5 792 个节点,5 580 个单元。图2 　有限元模型采用lanczos 法进行模态分析,频率搜索区间为 18kHz～24kHz ,提交分析给MSC Nast ran 2001 ,分析结果共得到2 个共振模态频率,一个共振模态频率为18. 85kHz ,为横向振动,如图3 所示。另一个模态频率为19. 8kHz ,为纵向振动,如图4 所示。该振动频率与设计要求相符,达到设计要求。另外,通过轴的一个平面内各节点的特征向量的矢量分布如图 5 所示,根据矢量分布图,可以找到振幅为0 的位移节点。由于该点不发生振动,可作为变幅杆的夹持点。图3 　模态频率为18. 85kHz 的振型图4 　模态频率为19. 8kHz 的振型图5 　特征向量分布所得参数与理论值的比较如表1 所示。通过与理论计算值的比较,可以知道,模态分析取得了较高的精度。而且通过模态分析,知道横向振动模态频率与纵向振动频率较为接近,如果激振声频波动较大时,可能会引起超声波变幅杆的横向振动。表1 　模态分析值与计算值名称固有频率 (kHz) 位移节点 (nn) 放大系数理论值20 56. 03 1. 75 模态分析值19. 8 56. 01 1. 73

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4         结束语

超声波变幅杆往往具有规则的形体,可以获得精度很高的有限元模型。模态分析法可以定性、定量且直观地得到超声波变幅杆的多个特性参数,对超声波变幅杆的设计、校核和分析提供了一种新的方法。